Две стороны треугольника соответственно. Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы. Другие задачи из этого раздела


Эффективность менеджмента - это управление деятельностью предприятия с минимальными издержками и максимальными результатами.

Эффективность производственно-хозяйственной деятельности во многом определяется уровнем организаторской работы, т.е. эффективностью работы аппарата управления цехом, предприятием, отраслью, экономикой в целом.

Эффективность управления формируется под воздействием ряда факторов, которые можно классифицировать по следующим признакам.

По продолжительности влияния выделяют факторы, влияние которых сказывается на протяжении длительного времени (технический уровень производства, стиль управления) и которые действуют непродолжительное время (прогулы, простои, нарушения трудовой дисциплины).

По характеру влияния различают факторы интенсивные и экстенсивные. Интенсивные обеспечивают повышение эффективности менеджмента за счет мобилизации внутренних ресурсов, совершенствование организации труда управленческих работников и улучшение его условий, подготовка кадров управления. Экстенсивные предусматривают привлечение дополнительных ресурсов – увеличение численности управленческого персонала, расширение технического оснащения труда управленцев на качественно неизменной основе и т.д.

По степени формализации выделяют количественно измеримые и количественно неизмеримые факторы. Количественно измерить можно уровень механизации управленческого труда, интенсивность информационных потоков. Не поддаются количественному измерению и не могут быть формализованы такие факторы, как удовлетворенность трудовой деятельностью, психологический климат.

В зависимости от масштаба влияния факторы можно подразделить на: народно-хозяйственные, отраслевые, на уровне организаций, на уровне подразделений.

По содержанию различают факторы: организационные (рациональная структура аппарата управления, расстановка кадров, документооборот, трудовая дисциплина), экономические (система материального поощрения и материальной ответственности), социально-психологические (мотивация труда, межличностные отношения), технические (механовооруженность управленческого труда, степень использования техники, техническая культура), физиологические (санитарно-гигиенические условия труда) и др.

По форме влияния различают факторы прямого воздействия - непосредственно влияют на эффективность управленческого труда (организация личной работы менеджеров, их квалификация, правильность подбора и расстановки кадров в аппарате управления); факторы косвенного воздействия - оказывают опосредованное влияние на работу организации (психологический климат коллектива, стиль управления, динамика формальных и неформальных групп).

Каждый из перечисленных факторов может воздействовать на систему управления сам по себе, в отдельности, а также в совокупности с другими. При совместном положительном воздействии они обеспечивают существенный рост результативности менеджмента, при отрицательном - снижают ее. Роль менеджеров состоит в том, чтобы планомерно воздействовать на указанные факторы.

На эффективность работы предприятия оказывают влияние помимо управления и такие факторы как: качество сырья, уровень подготовки кадров, соответствие орудий труда требованиям научно-технического прогресса. Оценивая эффективность функционирования системы управления, необходимо сопоставлять расходы на ее содержание с полезными результатами управленческой деятельности. Это важный аспект оценки эффективности управления. Рост эффективности должен стать объектом постоянной управленческой деятельности на всех уровнях организации.

2. Особенности рынка в России и основные модели менеджмента.

Билет №26

1. Специфика кризисных ситуаций для российских предпринимательских структур. Пути и способы выхода из кризисных ситуаций.

2. Билет 3, вопр.2.

Билет №27

1. Основные этапы процесса принятия управленческого решения

Принятие решений происходит во времени, поэтому вводится понятие процесса принятия решений. Этот процесс состоит из последовательности этапов и процедур и направлен на разрешение проблемной ситуации.

Представление процесса принятия решений как логически упорядоченной совокупности неформальных и формальных процедур есть описание технологической схемы выполнения этого процесса. Такое описание позволяет структурно упорядочить процесс принятия решений и выбрать методы, на основе которых рационально проводится поиск и принятие наилучшего решения.

Упорядочение процесса принятия решения в какой - то мере компенсирует недостатки, обусловленные невозможностью решить проблему только с помощью количественных методов анализа на основе использования четких однозначных алгоритмов. Рассмотрение возникших проблем в строгой логической последовательности дает возможность плодотворно сочетать формальные и эвристические методы в процессе подготовки и принятия решения и добиваться более высокого его качества.

В зависимости от того, на каких аспектах при рассмотрении процесса решения делается акцент, этот процесс можно структурировать на отдельные этапы, руководствуясь различными принципами:

1. Выявление и описание проблемной ситуации

2. Анализ проблем

3. Этап выработки предположений (гипотез)

4. Этап определения целей

5. Выбор допустимых альтернатив

6. Этап предварительного выбора лучшей альтернативы

7. Оценка альтернатив со стороны лица, принимающего решение

8. Экспериментальная проверка альтернатив

9. Выбор единственного решения.

После прохождения этапов принятия управленческого решения уже непосредственно начинается деятельность по реализации принятого решения.

В приведенной схеме этапов процесса принятия решения специально не выделены этапы построения моделей, выбора оценочных критериев, сбора информации. Все это осуществляется практически на всех рассмотренных этапах принятия решения. Например, модели и критерии необходимы практически для всех этапов выработки Так, без использования соответствующих критериев не представляется возможным выделить ключевые проблемы, определить приоритетность отдельных целей, осуществить выбор допустимых, а затем и наилучших альтернатив.

То же касается поиска и анализа информации. Эта работа осуществляется практически на всех этапах процесса принятия решений, а не только на начальном, как иногда предлагается. Чтобыруководитель знал, в какой информации он нуждается, он должен отчетливо представлять себе каждый тип решений, которые ему следует принимать, и у него должна быть адекватная модель каждого решения. Эти условия редко бывают выполнены. В науке известно, что чем меньше мы понимаем то или иное явление, тем нам больше требуется переменных, чтобы его объяснить. Потому руководитель, не понимающий полностью управляемого им явления, действует «наверняка» и хочет получить как можно больше информации. Системным аналитикам, которые, скорее всего, понимают решаемую проблему в целом хуже руководителя, даже самая полная информация кажется недостаточной. Чтобы избежать стремления собирать информацию вообще, лучше осуществлять это прицельно, привязывая сбор информации к отдельным этапам процесса принятия решения, к тем моделям, которые на них используются.

Достаточно четкое последовательное разделение на этапы является упрощением, так как реальные этапы принятия решений часто в той или иной степени осуществляются параллельно. Например, при определении проблемы параллельно хотя бы в общем виде формулируют цели их решения.

Обосновать и решить проблему с первого раза редко удается. Изменение в допустимых пределах ранее сформулированных целей дает возможность существенно повысить эффективность решения проблемы путем использования более эффективных средств ее достижения. Ключом к успешному решению является корректировка ранее сформулированных проблем, целей, вариантов достижения целей, оценки их эффективности, разработки новых вариантов решения и т. д. Иными словами, возможен возврат с любого этапа процесса принятия решения к предыдущим этапам.

Таким образом, рассмотренный процесс носит итеративный характер, поэтому в ходе работы необходимо проявлять гибкость при возникновении новых факторов и проводить переоценку полученных результатов, а в некоторых случаях менять идеи, лежащие в основе решения. Такие переоценки полученных результатов нельзя считать напрасной тратой труда и времени. Конечно, постоянно изменять цели, пути и средства их достижения недопустимо. Это мешает четкой ориентации. Но не менее опасны формальное отношение к поставленной задаче и настойчивое стремление решить ее вопреки реальному ходу событий.

2. Базовые модели науки управления

Чтобы принять эффективное организационное решение руководители могут использовать различные модели науки управления и различные методы принятия решений. Существуют следующие модели науки управления:

1. Теория игр. Метод моделирования воздействия принятого решения на конкурентов.

2. Теория очередей. Используется для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них.

3. Управление запасами. Используются для определения времени размещения заказов на ресурсы и их количества, а так же количества готовой продукции на складах.

4. Линейное программирование. Определение оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей.

5. Имитационное моделирование. Процесс создания модели и ее экспериментальное применение для определения изменений реальной ситуации.

6. Экономический анализ. Включает почти все методы оценки издержек и экономических выгод, а так же относительной рентабельности деятельности предприятия.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

  • Находим квадрат длины катета a;
  • Находим квадрат катета b;
  • Складываем их между собой;
  • Из полученного результата извлекаем корень второй степени.

Пример: a=4, b=3, c=?

  • a²=4²=16;
  • b² =3²=9;
  • 16+9=25;
  • √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5.

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1).

Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C 1 . Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 AB - общая сторона, AC = AC 1 , С = С 1 , однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.

В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 С = С 1 , AB = A 1 B 1 , высота AH равна высоте A 1 H 1 (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B 1 . Учитывая, что С = С 1 , имеем равенство A = A 1 . Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1

AB = A 1 B 1 , A = A 1 , B = B 1 .

Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).

Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов треугольников не достаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 (H = H 1 = 90 o ), в которых

AB = A 1 B 1 , B = B 1 , AH = A 1 H 1

(рис. 5). На продолжениях сторон BH и B 1 H 1 отложим неравные отрезки HC и H 1 C 1 . Тогда в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1

AB = A 1 B 1 , B = B 1 ,

высоты AH и A 1 H 1 равны, однако сами треугольники не равны.

Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1

AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 ,

медиана СM равна медиане С 1 M 1 (рис. 6). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M 1 D 1 = C 1 M 1 (рис. 6).

Четырехугольники ACBD и A 1 С 1 B 1 D 1 - параллелограммы. Треугольники ACD и A 1 C 1 D

ACD = A 1 C 1 D 1 .

Аналогично, треугольники BCD и B 1 C 1 D 1 равны по трем сторонам. Следовательно,

BCD = B 1 C 1 D 1 .

Значит, С = С 1 и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними.


Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 7).


Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 8). Проведем два диаметра AB и A 1 B 1 . Через точки A , A 1 , M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C , как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A 1 B 1 C

AB = A 1 B 1 , A = A 1 ,

медиана СM ABC и A 1 B 1 C не равны.

Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , медиана AM равна медиане A 1 M 1 , медиана BK равна медиане B 1 K 1 (рис. 9). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Точки O и O 1 пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2: 1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 равны по трем сторонам. Следовательно,

BAO = B 1 A 1 O 1 ,

значит, треугольники ABM и A 1 B 1 M 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

ABC = A 1 B 1 C 1 .

Аналогично доказывается, что

BAC = B 1 A 1 C 1 .

Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.


Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 10).


Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O 1 и O 2 , касающиеся друг друга в точке M (рис. 11).

Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM , пересекающую вторую окружность в некоторой точке C . Проведем отрезок BC . Получим треугольник ABC . Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2: 1, считая от вершины C . Проведем окружность с центром в точке O , радиуса OC , пересекающую вторую окружность в точке C 1 . Проведем прямую C 1 M и обозначим A 1 ее точку пересечения с первой окружностью. Обозначим K 1 точку пересечения хорды A 1 B и прямой C 1 O . В треугольниках ABC и A 1 BC 1 A = A 1 , медианы CK и C 1 K 1 равны, медиана BM - общая. Однако треугольники ABC и A 1 BC 1 не равны.

Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1

AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 ,

биссектриса CD равна биссектрисе С 1 D 1 . Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Продолжим стороны AC и A 1 C 1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C 1 E 1 = B 1 C 1 (рис. 12). Тогда

Треугольники BCE и B 1 C 1 E 1 равны по трем сторонам. Значит, E = E 1 и BE = B 1 E 1 . Треугольники ABE и A 1 B 1 E 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам.


Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 13).


Пример треугольников ABC и ABC 1 , изображенных на рисунке 14, показывает, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Действительно, в треугольниках ABC и ABC 1 B - общий, AB - общая сторона, биссектрисы AD и AD 1 равны. Однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.

Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника (рис. 15).


Приведем пример, показывающий, что равенства указанных элементов не достаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности (рис. 16). Отложим на его стороне отрезок AB , больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла, и пересекающую окружность в некоторых точках M и M 1 . Проведем прямые BM , BM 1 и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C 1 . Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 сторона AB - общая, высота BH - общая, медианы AM и AM 1 равны, однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.

Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1 , медианы CM и C 1 M 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны (рис. 17). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, F A = F A 1 и AH = A 1 H 1 . Прямоугольные треугольники CMH и C 1 M 1 H 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M 1 H 1 , откуда AM = A 1 M 1 , значит, AB = A 1 B 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними.


Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны медианы AK и A 1 K 1 , BL и B 1 L 1 , CM и C 1 M 1 (рис. 18). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Пусть O и O 1 - точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O 1 M 1 треугольников ABO и A 1 B 1 O 1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.

По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 равны, значит, AB = A 1 B 1 .

Аналогично доказывается, что BC = B 1 C 1 и AC = A 1 C 1 . Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам.


Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны высоты AH и A 1 H 1 , BG и B 1 G 1 , CF и C 1 F 1 (рис. 19). Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.

Обозначим стороны треугольников соответственно a , b , c и a 1 , b 1 , c 1 , а соответствующие высоты h a , b b , h c и h 1a , h 1b , h 1c . Имеют место равенства ah a = bh b = ch c и a 1 h 1a = b 1 h 1b = c 1 h 1c . Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.

3.Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

4.Окружность.

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

О - центр окружности.

Радиус- отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину.

Хорда- отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр- хорда, проходящая через центр окружности.

Любые две точки окружности делят её на 2 части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

Для изображения окружности на чертеже используют циркуль.

S= пR 2 (формула площади окружности)

P=2пR (формула периметра окружности)

5.Углы образованные параллельной прямыми и секущей.

6. Свойства углов образованных параллельной и секущей.

· Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

· Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

· Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

· Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 .

7.Параллельность прямых.

· Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

· Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

· Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

8. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольников.

· В треугольнике:1) против большей стороны лежит больший угол;2)против большего угла лежит большая сторона.

· В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

· Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

· Каждая сторона треугольника меньше суммы двух сторон.

· Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливо неравенства: АВ

9.Прямоугольный треугольник.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольный.

Гипотенуза- сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. А две другие стороны катетами.

· Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .

· Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.

· Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .

10.Призаки равенства прямоугольных треугольников.

· Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

· Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

· Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

· Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 . Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 , изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А 1 В 1 лежат равные углы С и С 1 . Равенство треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1 . Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Так как ∠ А = ∠ А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и A 1 C 1 . Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 а сторона АС - со стороной А 1 C 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны ().

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

Рекомендуем почитать