Площадь поверхности тела вращения интеграл. Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений. Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически
5. Нахождение площади поверхности тел вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥ 0, где х [а; b], а функция у = f(х) и ее производная у" = f"(х) непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).
Применим схему II (метод дифференциала).
Через произвольную точку х [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у – f(х). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т.е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).
Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх [а; b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде «пояска».
Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна: = 2ydl + dydl.
Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2уdl, или, так как d1 = dx.
Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид
S = 2
dt.
Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R.
S=2
= 
6. Нахождение работы переменной силы
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м? По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F = kх, где k – коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000х. Искомая работа на основании формулы A = Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м (рис 13). Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова. Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат. 1) Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т.е. А = А(х), где (0 ≤ х ≤ Н) (A(0) = 0, A(H) = А 0). 2) Находим главную часть приращения ΔA при изменении х на величину Δх = dx, т.е. находим дифференциал dА функции А(х). Ввиду малости dх считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр – вес этого слоя; он равен g АV, где g – ускорение свободного падения, – плотность жидкости, dv – объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т.е. dр = g. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx – высота цилиндра (слоя), – площадь его основания, т.е. dv = . Таким образом, dр = . и 3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим A 8. Вычисление интегралов с помощью пакета MathCAD При решении некоторых прикладных задач требуется использовать операцию символического интегрирования. При этом программа MathCad может пригодиться как на начальном этапе (хорошо знать ответ заранее или знать, что он существует), так и на заключительном этапе (хорошо проверить полученный результат с использованием ответа из другого источника или решения другого человека). При решении большого количества задач можно заметить некоторые особенности решения задач при помощи программы MathCad. Попытаемся понять на нескольких примерах, как работает эта программа, проанализируем решения, полученные с её помощью и сравним эти решения с решениями, полученными другими способами. Основные проблемы при использовании программы MathCad заключаются в следующем: а) программа даёт ответ не в виде привычных элементарных функций, а виде специальных функций, известных далеко не всем; б) в некоторых случаях «отказывается» давать ответ, хотя решение у задачи имеется; в) иногда невозможно воспользоваться полученным результатом из-за его громоздкости; г) решает задачу не полностью и не делает анализа решения. Для того чтобы решить эти проблемы, необходимо использовать сильные и слабые стороны программы. С её помощью легко и просто вычислять интегралы от дробно-рациональных функций. Поэтому рекомендуется использовать метод замены переменной, т.е. предварительно подготовить интеграл для решения. Для этих целей могут быть использованы подстановки, разобранные выше. Также следует иметь в виду, что полученные результаты необходимо исследовать на совпадение областей определения исходной функции и полученного результата. Кроме этого, некоторые полученные решения требуют дополнительного исследования. Программа MathCad освобождает обучаемого или исследователя от рутинной работы, но не может освободить его от дополнительного анализа как при постановке задачи, так и при получении каких-либо результатов. В данной работе были рассмотрены основные положения, связанные с изучением приложений определённого интеграла в курсе математики. – был проведен анализ теоретической основы решения интегралов; – материал был подвергнут систематизации и обобщению. В процессе выполнения курсовой работы были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики. Заключение Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости. Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов. Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения. Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения. Литература 1. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1988. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1. 3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990. Приветствую вас, уважаемые студенты вуза Аргемоны!
Сегодня мы продолжим учиться материализации предметов. В прошлый раз мы вращали плоские фигуры и получали объёмные тела. Некоторые из них - очень даже заманчивые и полезные. Думаю, что многому, что изобретает маг, можно в дальнейшем найти применение.
Сегодня мы будет вращать кривые. Понятно, что таким образом мы можем получить какой-то предмет с очень тонкими гранями (колбочка или флакон для зелий, ваза для цветов, стакан для напитков и т.п.), потому как вращающаяся кривая именно такого рода предметы и может сотворить. Другими словами, вращением кривой мы можем получить какую-то поверхность - замкнутую со всех сторон или нет. Почему прямо сейчас вспомнилась дырявая чаша, из которой всё время пил сэр Шурф Лонли-Локли. Вот мы и сотворим дырявую чашу и недырявую, и подсчитаем площадь сотворённой поверхности. Думаю, для чего-то она (вообще площадь поверхности) ведь будет нужна - ну хотя бы для нанесения специальной магической краски. А с другой стороны, площади магических артефактов могут потребоваться для расчёта приложенных к ним магических сил или ещё чего-то. Мы научимся это находить, а уж где применить - найдём.
Итак, форму чаши вполне нам может дать кусок параболы. Возьмём самую простейшую y=x 2 на промежутке .
Видно, что при вращении её вокруг оси OY получается как раз чаша. Без дна.
Заклинание для расчёта площади поверхности вращения выглядит следующим образом:
Здесь |y| - это расстояние от оси вращения до любой точки кривой, которая вращается. Как известно, расстояние - это перпендикуляр. Для нашего случая расстояние от оси вращения до любой точки на кривой равно х. Считаем площадь поверхности получившейся дырявой чаши:
Чтобы сделать чашу с дном, нужно взять ещё кусочек, но другой кривой: на интервале это линия y=1.
Ясно, что при её вращении вокруг оси OY получится донышко чаши в виде круга единичного радиуса. И мы знаем, как считается площадь круга (по формуле пи*r^2. Для нашего случая площадь круга будет равна пи), но вычислим его по новой формуле - для проверки. Ну вот, расчёты наши верны, что радует.
А теперь домашнее задание
.
1. Найти площадь поверхности, полученной вращением ломаной ABC, где A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), вокруг оси ОХ. 2. Ну а теперь придумайте что-то сами. Трёх предметов, думаю, хватит.
Прежде чем перейти к формулам площади поверхности вращения, дадим краткую формулировку самой
поверхности вращения. Поверхность вращения, или, что то же самое - поверхность тела вращения - пространственная
фигура, образованная вращением отрезка AB
кривой вокруг оси Ox
(рисунок ниже). Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху упомянутым отрезком кривой.
Тело, образованное вращением этой трапеции вокруг то же оси Ox
, и есть тело вращения. А площадь
поверхности вращения или поверхности тела вращения - это его внешняя оболочка, не считая кругов,
образованных вращением вокруг оси прямых x
= a
и
x
= b
. Заметим, что тело вращения и соответственно его поверхность могут быть образованы также
вращением фигуры не вокруг оси Ox
, а вокруг оси Oy
. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y
= f
(x
)
задана кривая, вращением которой вокруг координатной оси образовано тело вращения. Формула для вычисления площади поверхности вращения следующая: Пример 1.
Найти площадь поверхности параболоида, образованную
вращением вокруг оси Ox
дуги параболы
, соответствующей
изменению x
от x
= 0
до
x
= a
. Решение. Выразим явно функцию, которая задаёт дугу параболы: Найдём производную этой функции: Прежде чем воспользоваться формулу для нахождения площади поверхности вращения,
напишем ту часть её подынтегрального выражения, которая представляет собой корень и подставим туда
найденную только что производную: Ответ: длина дуги кривой равна Пример 2.
Найти площадь поверхности, образуемой вращением
вокруг оси Ox
астроиды
. Решение. Достаточно вычислить площадь поверхности, получающейся от вращения
одной ветви астроиды, расположенной в первой четверти, и умножить её на 2. Из уравнения астроиды
выразим явно функцию, которую нам нужно будет подставить в формулу для нахождения площади повержности
вращения: Производим интегрирование от 0 до a
: Рассмотрим случай, когда кривая, образующая поверхность вращения, задана параметрическими
уравнениями Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле Пример 3.
Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением
вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной циклоидой и прямой y
= a
.
Циклоида задана параметрическими уравнениями Решение. Найдём точки пересечения циклоиды и прямой. Приравнивая уравнение циклоиды
Из этого следует, что границы интегрирования соответствуют Теперь можем применить формулу (2). Найдём производные: Запишем подкоренное выражение в формуле, подставляя найденные производные: Найдём корень из этого выражения: Подставим найденное в формулу (2): Произведём подстановку: И, наконец, находим В преобразовании выражений были использованы тригонометрические формулы Ответ: площадь поверхности вращения равна
. Пусть кривая, вращением которой образована поверхность, задана в полярных координатах. Если кривая задана параметрическими уравнениями , то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг оси , рассчитывается по формуле Пример 3
Вычислить площадь сферы, полученной вращением окружности вокруг оси . Решение
: из материалов статьи о площади и объемё при параметрически заданной линии
вы знаете, что уравнения задают окружность с центром в начале координат радиуса 3. Ну а сфера
, для тех, кто забыл, – это поверхность шара
(или шаровая поверхность
). Придерживаемся наработанной схемы решения. Найдём производные: Составим и упростим «формульный» корень: Что и говорить, получилась конфетка. Ознакомьтесь для сравнения, как Фихтенгольц бодался с площадью эллипсоида вращения
. Согласно теоретической ремарке, рассматриваем верхнюю полуокружность. Она «прорисовывается» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что Ответ
: Если решить задачу в общем виде, то получится в точности школьная формула площади сферы , где – её радиус. Что-то больно простая задачка, даже стыдно стало…. предлагаю вам исправить такую недоработку =) Пример 4
Вычислить площадь поверхности, полученной вращением первой арки циклоиды вокруг оси . Задание креативное. Постарайтесь вывести или интуитивно догадаться о формуле вычисления площади поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ординат. И, конечно, снова следует отметить преимущество параметрических уравнений – их не нужно как-то видоизменять; не нужно заморачиваться с нахождением других пределов интегрирования. График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически
. Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю с чем сравнить… что-то неземное – округлой формы с остроконечным углублением посередине. Вот для случая вращения циклоиды вокруг оси ассоциация в голову мгновенно пришла – продолговатый мяч для игры в регби. Решение и ответ в конце урока. Завершаем наш увлекательный обзор случаем полярных координат
. Да, именно обзор, если вы заглянете в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова, др. авторов), то сможете раздобыть добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно найдётся нужная вам задача. Как вычислить площадь поверхности вращения,
Если кривая задана вполярных координатах
уравнением , и функция имеет непрерывную производную на данном промежутке, то площадь поверхности, полученной вращением данной кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция Пример 5
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси. Решение
: график данной кривой можно посмотреть в Примере 6 урока о полярной системе координат
. Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому рассматриваем её верхнюю половинку на промежутке (что, собственно, обусловлено и вышесказанным замечанием). Поверхность вращения будет напоминать яблочко. Техника решения стандартна. Найдём производную по «фи»: Составим и упростим корень: Используем формулу: На промежутке Ответ
: Интересное и короткое задание для самостоятельного решения: Пример 6
Вычислить площадь шарового пояса , Что такое шаровой пояс? Положите на стол круглый неочищенный апельсин и возьмите в руки нож. Сделайте два параллельных
разреза, разделив тем самым фрукт на 3 части произвольных размеров. Теперь возьмите серединку, у которой сочная мякоть обнажилась с обеих сторон. Данное тело называется шаровым слоем
, а ограничивающая её поверхность (оранжевая кожура) – шаровым поясом
. Читатели, хорошо знакомые с полярными координатами
, легко представили чертёж задачи: уравнение задаёт окружность с центром в полюсе радиуса , от которой лучи
Теперь можно с чистой совестью и лёгким сердцем съесть апельсинку, на этой вкусной ноте и завершим занятие, не портить же вам аппетит другими примерами =) Решения и ответы:
Пример 2:
Решение
: вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви
вокруг оси абсцисс. Используем формулу
Пример 4:
Решение
: используем формулу
Пример 6:
Решение
: используем формулу:
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Численные методы – достаточно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов
. В этой статье я рассмотрю два метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод трапеций
и метод Симпсона
. Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор. Да-да, нас ждут рутинные школьные расчёты. А еще лучше – закачайте мой калькулятор-полуавтомат для метода трапеций и метода Симпсона
. Калькулятор написан в Экселе и позволит в десятки раз уменьшить время решения и оформления задач. Для экселевских чайников прилагается видеомануал! К слову, первая видеозапись с моим голосом. Сначала зададимся вопросом, а зачем вообще нужны приближенные вычисления? Вроде бы можно найти первообразную функции и использовать формулу Ньютона-Лейбница, вычислив точное значение определенного интеграла. В качестве ответа на вопрос сразу рассмотрим демонстрационный пример с рисунком. Вычислить определенный интеграл Всё было бы хорошо, но в данном примере интеграл не берётся – перед вами неберущийся, так называемый интегральный логарифм
. А существует ли вообще этот интеграл? Изобразим на чертеже график подынтегральной функции : Всё нормально. Подынтегральная функция непрерывна
на отрезке и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Да вот только одна загвоздка – интеграл не берётся. И в подобных случаях на помощь как раз приходят численные методы. При этом задача встречается в двух формулировках: 1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой
. Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347. На самом деле он может быть не совсем верным (в действительности, скажем, более точный ответ 5,343). Нашазадача состоитлишь в том
, чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой. 2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью
. Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Что это значит? Это значит, что если получен приближенный ответ 5,347, то все
цифры должны быть железобетонно правильными
. А точнее говоря, ответ 5,347 должен отличаться от истины по модулю (в ту или другую сторону) не более чем на 0,001. Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, который встречается в задачах: Метод прямоугольников
. Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура (гистограмма
), которая по площади близка к искомой площади: Не судите строго за чертежи, точность не идеальна – они лишь помогают понять суть методов. В данном примере проведено разбиение отрезка интегрирования на три отрезка: Метод трапеций
. Идея аналогична. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается ломаной
линией: Таким образом, наша площадь (синяя штриховка) приближается суммой площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Легко заметить, что метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения). И, естественно, чем больше более мелких промежуточных отрезков мы рассмотрим, тем будет выше точность. Метод трапеций время от времени встречается в практических заданиях, и в данной статье будет разобрано несколько примеров. Метод Симпсона (метод парабол)
. Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций. Чертеж строить не вижу смысла, поскольку визуально приближение будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта – и то практически совпала). Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.
Немного труднее со вторым элементом заклинания: ds - это дифференциал дуги. Эти слова нам ничего не дают, поэтому не будем заморачиваться, а перейдём на язык формул, где этот дифференциал явно представлен для всех известных нам случаев:
- декартовой системы координат;
- записи кривой в параметрическом виде;
- полярной системы координат.
Расстояние от оси вращения до любой точки этого кусочка кривой также равно х.
Совет. Записать все отрезки в параметрическом виде.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Кстати, на что похож получившийся предмет?
Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах
(1).
.
.
Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически
(2).
и уравнение прямой
y
= a
, найдём
.
.
Вычисление площади поверхности вращения, заданной в полярных координатах
. При этом «направление прорисовки» линии, о которое было сломано столько копий в статье , безразлично. Но, как и в предыдущем пункте, важно чтобы кривая располагалась выше
оси абсцисс – в противном случае функция , «отвечающая за игреки», будет принимать отрицательные значения и перед интегралом придётся поставить знак «минус».
на данном промежутке), таким образом:
если линия задана в полярной системе координат?
, где – угловые значения, соответствующие концам кривой.
, а это достигается только при условии ( и заведомо неотрицательны). Следовательно, необходимо рассматривать значения угла из диапазона , иными словами кривая должна располагаться выше
полярной оси и её продолжения. Как видите, та же история, что и в двух предыдущих параграфах.
Надеюсь, с заштатными тригонометрическими формулами
ни у кого не возникло затруднений.
, следовательно: 
(о том, как правильно избавляться от корня, я подробно рассказал в статье Длина дуги кривой
).
отсекают меньшую
дугу. Данная дуга вращается вокруг полярной оси и таким образом получается шаровой пояс.
.
В данном случае:
;
Таким образом:
Ответ
:
. Первая арка циклоиды определена на отрезке
.
Найдём производные:
Составим и упростим корень:
Таким образом, площадь поверхности вращения:
На промежутке
, поэтому
Первый интеграл
интегрируем по частям
:
Во втором интеграле используем
тригонометрическую формулу
.
Ответ
:
Ответ
:
Как вычислить определенный интеграл
по формуле трапеций и методом Симпсона?
. Очевидно, что чем чаще разбиение (больше более мелких промежуточных отрезков), тем выше точность. Метод прямоугольников даёт грубое приближение площади, видимо, поэтому очень редко встречается на практике (припомнил только один практический пример). В этой связи я не буду рассматривать метод прямоугольников, и даже не приведу простую формулу. Не потому, что лень, а по причине принципа моего решебника: что крайне редко встречается в практических задачах, то – не рассматривается.