Сравнить дроби смешанные числа. Сравнение дробей: правила, примеры, решения. Сравнение дробей с разными знаменателями

В этой статье речь пойдет про сравнение смешанных чисел . Сначала мы разберемся, какие смешанные числа называются равными, а какие – неравными. Дальше мы приведем правило сравнения неравных смешанных чисел, которое позволяет выяснить, какое число больше, а какое – меньше, и рассмотрим примеры. Наконец, мы остановимся на сравнении смешанных чисел с натуральными числами и обыкновенными дробями.

Навигация по странице.

Равные и неравные смешанные числа

Сначала нужно знать, какие смешанные числа называются равными, а какие – неравными. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Равные смешанные числа – это смешанные числа, у которых равны и целые части, и дробные части.

Иными словами, два смешанных числа называются равными, если их записи полностью совпадают. Если же записи смешанных чисел отличаются, то такие смешанные числа называют неравными.

Определение.

Неравные смешанные числа – это смешанные числа, записи которых отличаются.

Озвученные определения позволяют с одного взгляда определить, равны ли данные смешанные числа или нет. Например, смешанные числа и равные, так как их записи полностью совпадают. Эти числа имеют равные целые части и равные дробные части. А смешанные числа и - неравные, так как они имеют неравные целые части. Другими примерами неравных смешанных чисел являются и , а также и .

Иногда возникает необходимость выяснить, какое из двух неравных смешанных чисел больше другого, а какое – меньше. Как это делается, рассмотрим в следующем пункте.

Сравнение смешанных чисел

Сравнение смешанных чисел можно свести к сравнению обыкновенных дробей . Для этого достаточно перевести смешанные числа в неправильные дроби .

Для примера, сравним смешанное число и смешанное число , представив их в виде неправильных дробей. Имеем и . Так сравнение исходных смешанных чисел сводится к сравнению дробей с разными знаменателями и . Так как , то .

Сравнение смешанных чисел через сравнение равных им дробей является не лучшим решением. Гораздо удобнее использовать следующее правило сравнения смешанных чисел : больше то смешанное число, целая часть которого больше, если же целые части равны, то больше то смешанное число, дробная часть которого больше.

Рассмотрим, как происходит сравнение смешанных чисел по озвученному правилу. Для этого разберем решения примеров.

Пример.

Какое из смешанных чисел и больше?

Решение.

Целые части сравниваемых смешанных чисел равны, поэтому сравнение сводится к сравнению дробных частей и . Так как , то . Таким образом, смешанное число больше, чем смешанное число .

Ответ:

Сравнение смешанного числа и натурального числа

Разберемся, как сравнить смешанное число и натуральное число.

Справедливо такое правило сравнения смешанного числа с натуральным числом : если целая часть смешанного числа меньше данного натурального числа, то смешанное число меньше данного натурального числа, а если целая часть смешанного числа больше или равна данному смешанному числу, то смешанное число больше данного натурального числа.

Разберем примеры сравнения смешанного числа и натурального числа.

Пример.

Сравните числа 6 и .

Решение.

Целая часть смешанного числа равна 9 . Так как она больше натурального числа 6 , то .

Ответ:

Пример.

Дано смешанное число и натуральное число 34 , какое из чисел меньше?

Решение.

Целая часть смешанного числа меньше числа 34 (11<34 ), поэтому .

Ответ:

Смешанное число меньше, чем число 34 .

Пример.

Выполните сравнение числа 5 и смешанного числа .

Решение.

Целая часть данного смешанного числа равна натуральному числу 5 , следовательно, данное смешанное число больше, чем 5 .

Ответ:

В заключение этого пункта отметим, что любое смешанное число больше единицы. Это утверждение следует из правила сравнения смешанного числа и натурального числа, а также из того, что целая часть любого смешанного числа либо больше 1 , либо равна 1 .

Сравнение смешанного числа и обыкновенной дроби

Сначала скажем про сравнение смешанного числа и правильной дроби . Любая правильная дробь меньше единицы (смотрите правильные и неправильные дроби), следовательно, любая правильная дробь меньше любого смешанного числа (так как любое смешанное число больше 1 ).

Цель урока: формировать навыки сравнения смешанных чисел.

Задачи урока:

1. Учить сравнивать смешанные числа.
2. Развивать мышление, внимание.
3. Воспитывать аккуратность во время черчения прямоугольников.

Оборудование: таблица «Обыкновенные дроби», набор кругов «Дроби и доли»

Ход урока

I. Организационный момент.

Запись даты в тетрадь.

Какое число сегодня? Какой месяц? какой год? Какой по счету месяц? Какой по счету урок?

II. Устная работа

1. Работа по табличке:

347

999

200

127

• Прочитать числа.
• Назвать самое большое, самое маленькое число.
• Назвать числа в порядке убывания, возрастания.
• Назвать соседей каждого числа.
• Сравнение 1 и 2 числа.
• Сравните 2 и 3 число.
• На сколько 3 число меньше 4.
• Разложите последнее число на сумму разрядных слагаемых, назовите: сколько всего единиц в этом числе, сколько всего десятков, сколько сотен.

2. Какие числа мы изучаем сейчас? (Дробные.)

• Назовите дробные числа (по 1 числу каждый).
• Назовите смешанные числа (по 1 числу каждый)

3. С помощью набора на магнитах «Доли и дроби» показать числа и .

Сегодня мы будем учиться сравнивать такие числа. запись в тетради темы урока.

III. Изучение темы урока.

1. Сравниваем с помощью кругов числа:

и

2. Строим прямоугольники и отмечаем числа и .

Вывод: из двух смешанных чисел больше то число, у которого больше целых.

3. Работа по учебнику: стр. 83, рисунок 12.

(Изображены целые яблоки и доли.)

Читаем правило в учебнике (учитель, затем 2-3 раза дети)

IV. Физкультурная минутка.

Проводится учителем и учащимися для мышц спины и туловища.

Для сравнения смешанных дробей есть последовательность действий из двух шагов:

Шаг 1. Сравнить целые части смешанных
чисел (дробей).
Из двух дробей с разной целой частью больше
та, чья целая часть больше.
Шаг 2. Сравнить дробную часть смешанных
чисел(дробей).
Для двух дробей с одинаковой целой частью
больше та, чья дробная часть больше.

Замечание:

Любая смешанная дробь (смешанное
число) больше своей целой части и меньше
натурального числа, следующего за ним.
Например,
2 < 2½ < 3;
1 < 1¼ < 2;
5 < 5¾ < 6.

Примеры.

Далее в виде картинок будут приведены
примеры смешанных чисел(дробей).
Попробуйте их сравнить сначала логически,
а после – используя правило.

1)

Каких кнопок больше: синих или оранжевых?

1) 3¾
3½

Каких кнопок больше: синих или оранжевых?

3¾ >
3½

Каких кнопок больше: синих или оранжевых?

3¾ >
3½
Почему мы сделали такой вывод?
Количество и оранжевых и синих
кнопок можно выразить в виде дробей, как показано выше. Очевидно, что эти
смешанные дроби (числа) имеют одинаковые целые части, но разные дробные.
По правилу, в таких случаях нужно сравнить именно дробные части. Рассмотрим их
отдельно.

Каких кнопок больше: синих или оранжевых?

¾
>
½
Даже просто смотря на эти изображения можно сказать, что
оранжевый кусок кнопки больше, чем синий.
Да и если сравнить сами дроби, мы получим, что ¾ > ½.

10. Каких кнопок больше: синих или оранжевых?

3¾ >
3½
Ответ: Больше оранжевых кнопок

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Содержание урока

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример .

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите .

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь сравним дроби и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь

Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей.

В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели.

Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше).

Например, сравнить дроби:

Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).

Например, сравнить дроби:

Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой

Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби.

Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.

Правило. Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.