Пусть имеется фигура произвольной формы площадью со в плоскости Оl , наклоненной к горизонту под углом α (рис. 3.17).

Для удобства вывода формулы для силы давления жидкости на рассматриваемую фигуру повернем плоскость стенки на 90° вокруг оси 01 и совместим ее с плоскостью чертежа. Выделим на рассматриваемой плоской фигуре на глубине h от свободной поверхности жидкости элементарную площадку dω . Тогда элементарная сила, действующая на площадку dω , будет

Рис. 3.17.

Интегрируя последнее соотношение, получаем суммарную силу давления жидкости на плоскую фигуру

Учитывая, что , получаем

Последний интеграл равен статическому моменту площадки со относительно оси Оу, т.е.

где l С – расстояние от оси Оу до центра тяжести фигуры. Тогда

Так как , то

т.е. суммарная сила давления на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на гидростатическое давление в ее центре тяжести.

Точка приложения суммарной силы давления (точка d , см. рис. 3.17) называется центром давления. Центр давления находится ниже центра тяжести плоской фигуры на величину е. Последовательность определения координат центра давления и величины эксцентриситета изложена в параграфе 3.13.

В частном случае вертикальной прямоугольной стенки получим (рис. 3.18)

Рис. 3.18.

В случае горизонтальной прямоугольной стенки будем иметь

Гидростатический парадокс

Формула для силы давления на горизонтальную стенку (3.31) показывает, что суммарное давление на плоскую фигуру определяется лишь глубиной погружения центра тяжести и площадью самой фигуры, но не зависит от формы того сосуда, в котором находится жидкость. Поэтому, если взять ряд сосудов, различных по форме, но имеющих одинаковую площадь дна ω г и равные уровни жидкости H , то во всех этих сосудах суммарное давление на дно будет одинаковым (рис. 3.19). Гидростатическое давление обусловлено в данном случае силой тяжести, но вес жидкости в сосудах разный.

Рис. 3.19.

Возникает вопрос: как же различный вес может создать одинаковое давление на дно? В этом кажущемся противоречии и состоит так называемый гидростатический парадокс. Раскрытие парадокса заключается в том, что сила веса жидкости действует в действительности не только на дно, но еще и на другие стенки сосуда.

В случае расширяющегося кверху сосуда очевидно, что вес жидкости больше силы, действующей на дно. Однако в данном случае часть силы веса действует на наклонные стенки. Эта часть есть вес тела давления.

В случае сужающегося к верху сосуда достаточно вспомнить, что вес тела давления G в этом случае отрицателен и действует на сосуд вверх.

Центр давления и определение его координат

Точку приложения суммарной силы давления называют центром давления. Определим координаты центра давления l d и y d (рис. 3.20). Как известно из теоретической механики, при равновесии момент равнодействующей силы F относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих сил dF относительно той же оси.

Рис. 3.20.

Составим уравнение моментов сил F и dF относительно оси Оу:

Силы F и dF определим по формулам

Большой практический интерес представляет местоположение точки приложения силы суммарного гидростатического давления. Эта точка называется центром давления.

В соответствии с основным уравнением гидростатики сила давления F 0 =p 0 ·ω , действующая на поверхность жидкости, равномерно распределяется по всей площадке, вследствие чего точка приложения суммарной силы поверхностного давления совпадает с центром тяжести площадки. Место приложения суммарной силы избыточного гидростатического давления, неравномерно распределяющегося по площади, не будет совпадать с центром тяжести площадки.

При р 0 =р атм положение центра давления зависит только от величины силы избыточного давления, поэтому положение (ординату) центра давления будем определять с учетом только этой силы. Для этого воспользуемся теоремой моментов: момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих ее сил относительно той же оси. За ось моментов примем линию уреза жидкости ОХ´ (рисунок 1.14).

Составим уравнение равновесия момента равнодействующей силы F и моментов составляющих сил dF , т.е. М р =М сс :

М р =F·y цд ; dM cc =dF·y . (1.45)

В формулах (1.45)

где – момент инерции площадки относительно оси Х .

Тогда момент составляющих сил

М сс =γ· sinα·I x .

Приравнивая значения моментов сил М р и М сс , получим

,

Момент инерции I x может быть определен по формуле

I x =I 0 +ω· , (1.49)

где I 0 – момент инерции смоченной фигуры, вычисленный относительно оси, проходящей через центр ее тяжести.

Подставляя значение I х в формулу (1.48) получим

. (1.50)

Следовательно, центр избыточного гидростатического давления расположен ниже центра тяжести рассматриваемой площадки на величину .

Поясним использование полученных выше зависимостей на следующем примере. Пусть на плоскую прямоугольную вертикальную стенку высотой h и шириной b действует жидкость, глубина которой перед стенкой равна h .

h c = h d , (4.7)

где h c – расстояние от свободной поверхности жидкости до центра тяжести, м ;

h d – расстояние от свободной поверхности жидкости до центра давления, м .

В случае если на свободную поверхность жидкости также действует какое-то давление р , то сила полного избыточного давления на плоскую стенку равна:

Р = (р + ρ ·g ·h ) F , (4.8)

Где р – давление, действующее на свободную поверхность жидкости, Па .

C вопросом определения силы дав-ления жидкости на плоские стенки приходиться часто сталкиваться при расче-тах на прочность различных резервуаров, труб и других гидротехнических соору-жений.

Давление жидкости на цилиндрическую поверхность.

Горизонтальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность см. рис. 4.5 равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию этой поверхности и определяется по формуле:

Р х = ρ ·g ·h c ·F y , (4.9)

где Р х – горизонтальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность, Н ;

F y – вертикальная проекция поверхности, м 2 .

Вертикальная составляющая силы давления равна силе тяжести жидкости в объеме тела давления и определяется по формуле:

Р у = ρ ·g ·V , (4.10)

где Р у – вертикальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность, Н ;

V – полный объем, полученный в результате суммирования элементарных объемов ΔV , м 3 .

Объем V называется телом давления и представляет собой объем жидкости, ограниченный сверху уровнем свободной поверхности жидкости, снизу – рассматриваемой криволинейной поверхностью стенки, смоченной жидкостью, и с боков – вертикальными поверхностями, проведенными через границы стенки.

Полная сила давления жидкости определяется как равнодействующая сила Р х и Р у по формуле:

Р = √P x 2 +P y 2 , (4.11)

где Р – полная сила давления жидкости на цилиндрическую поверхность, Н .

Угол β , составленный равнодействующей с горизонтом, определяется из условия по формуле:

tg β = Р у / Р х, (4.12)

где β – угол, составленный равнодействующей с горизонтом, град .

Давление жидкости на стенки труб.

Определим силу давления Р жидкости на стенку круглой трубы длинной l с внутренним диаметром d .

Пренебрегая массой жидкости в трубе, составим уравнение равновесия:

p ·l ·d = P x = P y = P , (4.13)

где l ·d – площадь диаметрального сечения трубы, м 2 ;

P – искомая сила давления жидкости на стенку трубы, Н .

Необходимая толщина стенок трубы определяется по формуле:

δ = p ·d / (2σ ), (4.14)

где σ – допускаемое напряжение материала стенок на разрыв, Па .

Полученный по формуле (4.14 ) результат обычно увеличивают на величину α

δ = p ·d / (2σ ) + α , (4.15)

где α – коэффициент запаса, учитывающий возможную коррозию, неточность отлива и т.п.

α = 3…7.

Порядок проведения работы

5.2. Ознакомиться с приборами для измерения давления.

5.3. Преобразовать размерности давления различных технических систем в размерность давления международной системы СИ – Па :

740 мм рт. ст.;

2300 мм вод. ст.;

1,3 ат;

2,4 бар;

0,6 кг/см 2 ;

2500 Н/см 2 .

5.4. Решить задачи:

5.4.1. Прямоугольный открытый резервуар предназначен для хранения воды. Определить силы давления на стенки и дно резервуара, если ширина a , длина b , объем V . Данные взять из табл. 5.1 (нечетные варианты ).

Таблица 5.1

Данные к нечетным вариантам (п. 5.4.1.)

Параметры	В а р и а н т
V, м 3
a, м
b, м
Параметры	В а р и а н т
V, м 3
a, м
b, м

5.4.2. Определить силы давления жидкости на дно и боковую поверхность цилиндра, расположенного вертикально, в котором храниться вода, если диаметр цилиндра соответствует числу букв в имени (паспорт) в м, а высота цилиндра – число букв в фамилии в м (четные варианты ).

5.5. Сделать вывод.

6.1. Начертить схемы приборов для измерения давления: рис. 4.1 жидкостные барометры (Вар. 1…6; 19…24 ), рис. 4.2 манометры и вакуумметры (Вар. 7…12; 25…30 ) и рис. 4.3 дифманометры (Вар. 13…18; 31…36 ). Нанести позиции и привести спецификацию. Привести краткое описание схемы.

6.2. Записать преобразование размерностей давления различных технических систем в размерность давления международной системы СИ – Па (п. 5.3.) .

6.3. Решить одну задачу, приведенную в п.п. 5.4.1 и 5.4.2 , согласно выбранного варианта, численно соответствующего порядковому номеру студента по журналу на странице ПАПП.

6.4. Записать вывод о проделанной практической работе.

7 Контрольные вопросы

7.1. В каких единицах измеряется давление?

7.2. Что такое абсолютное и избыточное давление?

7.3. Что такое вакуум, как определить абсолютное давление при вакууме?

7.4. Какими приборами измеряются избыточное давление и вакуум?

7.5. Как формулируется закон Паскаля? Как определяется усилие прессования гидравлического пресса?

7.6. Как определяется сила давления жидкости на вертикальные, горизонтальные и наклонные плоские стенки? Как направлена эта сила? Где находиться точка ее приложения?

Практическое занятие № 5

Изучение устройства отстойника, расчет его

производительности и площади осаждения

Цель работы

1.1. Изучение устройства различных отстойников.

1.2. Привитие навыков определения производительности и площади осаждения отстойника.

Точка приложения результирующей силы давления жидкости на любую поверхность называется центром давления.

Применительно к рис. 2.12 центром давления является т. D. Определим координаты центра давления (x D ; z D) для любой плоской поверхности.

Из теоретической механики известно, что момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. За ось в нашем случае примем ось Ох (см. рис. 2.12), тогда

Известно также, что является моментом инерции площади относительно оси Ox

В результате получаем

Подставим в это выражение формулу (2.9) для F и геометрическое соотношение :

Перенесем ось момента инерции в центр тяжести площадки . Обозначим момент инерции относительно оси, параллельной оси Ох и проходящей через т.С, через . Моменты инерции относительно параллельных осей связаны соотношением

тогда и окончательно получим

Формула показывает, что центр давления расположен всегда ниже центра тяжести площадки, за исключением случая, если площадка горизонтальна и центр давления совпадает с центром тяжести. Для простых геометрических фигур моменты инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси Ох (рис. 2.12), определяются по следующим формулам:

для прямоугольника

Ох ;

для равнобедренного треугольника

где сторона основания параллельна Ох;

для круга

Координата для плоских поверхностей строительных конструкций чаще всего определяется по координате расположения оси симметрии геометрической фигуры, ограничивающей плоскую поверхность. Так как такие фигуры (круг, квадрат, прямоугольник, треугольник) имеют ось симметрии, параллельную координатной оси Oz, местоположение оси симметрии и определяет координату x D . Например, для прямоугольной плиты (рис. 2.13), определение координаты x D ясно из чертежа.

Рис. 2.13. Схема расположения центра давления для прямоугольной поверхности

Гидростатический парадокс. Рассмотрим силу давления жидкости на дно сосудов, изображенных на рис. 2.14.