Расстояние от точки до точки, формулы, примеры, решения. Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения Расстояние между 2 точками координатной прямой

Урок № /3

ТЕМА: Расстояние между точками координатной прямой

Цель деятельности учителя: создать условия для овладения навыками находить расстояние между точками на координатной прямой, вычисляя модуль разности, координаты середины отрезка.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Предметные: умеют находить расстояние между точками на координатной прямой, вычисляя модуль разности, координаты середины отрезка.

Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия):

познавательные: ориентируются на разнообразие способов решения задач; умеют обобщать и систематизировать информацию;

регулятивные: учитывают правило в планировании и контроле способа решения;

коммуникативные: считаются с разными мнениями и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Сценарий урока.

I .Орг момент.
Здравствуйте, ребята. Сегодня у на гостим Поприветствуем их!

Садитесь.

У нас не совсем обычный урок. Урок обобщения знаний. Мы должны показать чему мы научились, что нового узнали.

Над какой темой мы работаем в последнее время?(сравнение, сложение рациональных чисел)

Эпиграфом урока я взяла такие слова : Мы в путь за наукой сегодня пойдем

Фантазию в помощь возьмем,

С дороги прямой никуда не свернем

И чтобы скорее нам цели достичь

Должны мы подняться по лестнице ввысь!

2. Актуализация знаний .

Задание «Лестница».

Работа по вариантам, проверка и самооценка

3 Молодцы, продолжаем двигаться вверх за знаниями. Проверим домашнее задание.

1. Найти расстояние между точками координатной прямой:Д/З

а) А(-4) и В(-6); б) А(5) и В(-7); в) А(3) и В(-18).

РЕШЕНИЕ: а) АВ= |-6-(-4) |= |-2|=2

б) АВ =|-7-5|=12

в) АВ = |-18-3 |= 21

2.Найти координаты точек удаленных от точки:

а) А(-8) на 5; б) В(6) на -2,7; в) С(4) на -3,2

Решение: а) -8+5=-3 А 1 (-3) и -8-5=-13 А 2 (-13)

б)6+(-2,7) =3,3 В 1 (3,3) и 6-(-2,7) =8,7 В 2 (8,7)

в) 4+(-3,2) =0,8 С 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 С 2 (7,2)

3) Найти координату точки С, середины отрезка, если:

а) А(-12) В (1) б) А(-7) и В(9) в) А(16) и В (-8)

РЕШЕНИЕ:

12+1=-11 Б) -7+9 =2 В) 16+(-8) =8

11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4

С(-5,5) с(1) С(4)

У вас на столах эталон домашнего задания. Проверьте и поставьте оценку в лист самооценки.

4 . Блиц – опрос :

1. Что такое координатная прямая?

2.Какие правила сравнения рациональных чисел вы знаете?

3.Что такое модуль числа?

4.Как сложить два числа с одинаковыми знаками?

5.Как сложить два числа с разными знаками?

6. Как определить расстояние между точками координатной прямой?

Ну, а теперь покажем, как мы умеем применять свои знания на практике.

5.Исправь ошибки

12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5

16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2

6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9

11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22

Выполнить самопроверку.

12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5

16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8

26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5

11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4

6. Определи расстояние между точками: и найти середину отрезка (по вариантам)

(обмен тетрадями и взаимопроверка.)

7. Ну а теперь мы отдохнем. Глазки наши должны отдохнуть

8.Самостоятельная работа (в тетради) выставление оценки.

1вариант 2 вариант

1,5-4,6 0,8 -1,2

-2,8 +3,8 4-9,4

0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (Слайд 9)

Цель: проверить умение применять законы сложения для преобразования выражений; развивать познавательный интерес, самостоятельность; воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели.

Найдите значение выражения и согласно полученному результату в соответствии с таблицей раскрасьте гнома. (карточка с гномом остаётся у учащихся как талисман)

Молодцы ребята!

Вы справились с заданьями

И блеснули знаньями.

А волшебный ключ к ученью -

Ваше упорство и терпенье!

§ 1 Правило нахождения расстояния между точками координатной прямой

В этом уроке выведем правило нахождения расстояния между точками координатной прямой, а также научимся находить длину отрезка, используя это правило.

Выполним задание:

Сравните выражения

1. а = 9, b = 5;

2. а = 9, b = -5;

3. а = -9, b = 5;

4. а = -9, b = -5.

Подставим значения в выражения и найдем результат:

Модуль разности 9 и 5 равен модулю 4, модуль 4 равен 4. Модуль разности 5 и 9 равен модулю минус 4, модуль -4 равен 4.

Модуль разности 9 и -5 равен модулю 14, модуль 14 равен 14. Модуль разности минус 5 и 9 равен модулю -14, модуль -14=14.

Модуль разности минус 9 и 5 равен модулю минус 14, модуль минус 14 равен 14. Модуль разности 5 и минус 9 равен модулю 14, модуль 14 равен 14

Модуль разности минус 9 и минус 5 равен модулю минус 4,модуль -4 равен 4. Модуль разности минус 5 и минус 9 равен модулю 4, модуль 4 равен (l-9 - (-5)l = l-4l = 4; l-5 - (-9)l = l4l = 4)

В каждом случае получились равные результаты, следовательно, можно сделать вывод:

Значения выражений модуль разности а и b и модуль разности b и а равны при любых значениях a и b.

Еще одно задание:

Найдите расстояние между точками координатной прямой

1.А(9) и В(5)

2.А(9) и В(-5)

На координатной прямой отметим точки А(9) и В(5).

Сосчитаем количество единичных отрезков между данными точками. Их 4, значит расстояние между точками А и В равно 4. Аналогично найдем расстояние между двумя другими точками. Отметим на координатной прямой точки А(9) и В(-5), определим по координатной прямой расстояние между этими точками, расстояние равно 14.

Сравним результаты с предыдущими заданиями.

Модуль разности 9 и 5 равен 4, и расстояние между точками с координатами 9 и 5 тоже равно 4. Модуль разности 9 и минус 5 равен 14, расстояние между точками с координатами 9 и минус 5 равно 14.

Напрашивается вывод:

Расстояние между точками А(а) и В(b) координатной прямой равно модулю разности координат данных точекl a - b l.

Причем расстояние можно найти и как модуль разности b и а, так как количество единичных отрезков не изменится от того, от какой точки мы их считаем.

§ 2 Правило нахождения длины отрезка по координатам двух точек

Найдем длину отрезка CD, если на координатной прямой С(16), D(8).

Мы знаем, что длина отрезка равна расстоянию от одного конца отрезка до другого, т.е. от точки С до точки D на координатной прямой.

Воспользуемся правилом:

и найдем модуль разности координат с и d

Итак, длина отрезка CD равна 8.

Рассмотрим еще один случай:

Найдем длину отрезка MN, координаты которого имеют разные знаки М (20), N (-23).

Подставим значения

мы знаем, что -(-23) = +23

значит, модуль разности 20 и минус 23 равен модулю суммы 20 и 23

Найдем сумму модулей координат данного отрезка:

Значение модуля разности координат и сумма модулей координат в данном случае получились одинаковыми.

Можно сделать вывод:

Если координаты двух точек имеют разные знаки, то расстояние между точками равно сумме модулей координат.

На уроке мы познакомились с правилом нахождения расстояния между двумя точками координатной прямой и научились находить длину отрезка, используя данное правило.

Список использованной литературы:

Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//Автор-составитель Л.А. Топилина. – М.: Мнемозина 2009.
Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2013.
Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений./Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru

План урока.

Расстояние между двумя точками на прямой.

Прямоугольная (декартова) система координат.

Расстояние между двумя точками на прямой.

Теорема 3. Если А(х) и В(у) - любые две точки, то d - расстояние между ними вычисляется по формуле: d =lу - хl.

Доказательство. Согласно теореме 2 имеем АВ= у - х. Но расстояние между точками А и В равно длине отрезка АВ, те. длине вектора АВ . Следовательно, d = lАВl=lу-хl.

Так как числа у-х и х-у берутся по модулю, то можно писать d =lх-уl. Итак, чтобы найти расстояние между точками на координатной прямой, нужно найти модуль разности их координат.

Пример 4 . Даны точки А(2) и В(-6), найти расстояние между ними.

Решение. Подставим в формулу вместо х=2 и у=-6. Получим, АВ=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8.

Пример 5. Построить точку, симметричную точке М(4) относительно начала координат.

Решение. Т.к. от точки М до точки О 4 единичных отрезка, отложенные справа, то, чтобы построить симметричную ей точку, откладываем от точки О 4 единичных отрезка влево, получим точку М" (-4).

Пример 6. Построить точку С(х), симметричную точке А(-4) относительно точки В(2).

Решение. Отметим точки А(-4) и В(2) на числовой прямой. Найдем расстояние между точками по теореме 3, получим 6. Тогда расстояние между точками В и С тоже должно быть равным 6. Откладываем от точки В вправо 6 единичных отрезков, получим точку С(8).

Упражнения. 1) Найти расстояние между точками А и В: а) А(3) и В(11), б) А(5) и В(2), в) А(-1) и В(3), г) А(-5) и В(-3), д) А(-1) и В(3), (Ответ: а)8, б)3, в)4, г)2, д)2).

2) Постройте точку С(х), симметричную точке А(-5) относительно точки В(-1). (Ответ: С(3)).

Прямоугольная (декартова) система координат.

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартову ) систему координат на плоскости .

Ось Ох называется осью абсцисс , а ось Оу - осью ординат . Точка О пересечения осей называется началом координат . Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

Пусть М - произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ соответственно на оси Ох и Оу. Точки пересечения А и В эитх перпендикуляров с осями называются проекциями точки М на оси координат.

Точкам А и В соответствуют определенные числа х и у - их координаты на осях Ох и Оу. Число х называется абсциссой точки М, число у - ее ординатой .

Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М(х,у). При этом первой в скобках указывают абсциссу, а второй - ординату. Начало координат имеет координаты (0,0).

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М плоскости соответствует пара чисел (х,у) - ее прямоугольные координаты и, обратно, каждой паре чисел (х,у) соответствует, и притом одна, точка М на плоскости Оху такая, что ее абсцисса равна х, а ордината равна у.

Итак, прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рисунке (гиперссылка).

На рисунке указаны также знаки координат точек в зависимости от их расположения. (например, в первой четверти обе координаты положительные).

Пример 7. Построить точки: А(3;5), В(-3;2), С(2;-4), D (-5;-1).

Решение. Построим точку А(3;5). Прежде всего введем прямоугольную систему координат. Затем по оси абсцисс отложим 3 единицы масштаба вправо, а по оси ординат - 5 единиц масштаба вверх и через окончательные точки деления проведем прямые, параллельные осям координат. Точка пересечения этих прямых является искомой точкой А(3;5). Остальные точки строятся таким же образом (см. рисунок-гиперссылка).

Упражнения.

Не рисуя точки А(2;-4), выясните, какой четверти она принадлежит.

В каких четвертях может находиться точка, если ее ордината положительна?

На оси Оу взята точка с координатой -5. Каковы ее координаты на плоскости? (ответ: т.к. точка лежит на оси Оу, то ее абсцисса равна 0, ордината дана по условию, итак, координаты точки (0;-5)).

Даны точки: а) А(2;3), б) В(-3;2), в) С(-1;-1), г) D(x;y). Найдите координаты точек, симметричных им относительно оси Ох. Постройте все эти точки. (ответ: а) (2;-3), б) (-3;-2), в) (-1;1), г) (х;-у)).

Даны точки: а) А(-1;2), б) В(3;-1), в) С(-2;-2), г) D(x;y). Найдите координаты точек, симметричных им относительно оси Оу. Постройте все эти точки. (ответ: а) (1;2), б) (-3;-1), в) (2;-2), г) (-х;у)).

Даны точки: а) А(3;3), б) В(2;-4), в) С(-2;1), г) D(x;y). Найдите координаты точек, симметричных им относительно начала координат. Постройте все эти точки. (ответ: а) (-3;-3), б) (-2;4), в) (2;-1), г) (-х;-у)).

Дана точка М(3;-1). Найдите координаты точек, симметричных ей относительно оси Ох, оси Оу и начала координат. Постройте все точки. (ответ: (3;1), (-3;-1), (-3;1)).

Определите, в каких четвертях может быть расположена точка М(х;у), если: а)ху>0 , б) ху< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

Определите координаты вершин равностороннего треугольника со стороной, равной 10, лежащего в первой четверти, если одна из вершин его совпадает с началом координат О, а основание треугольника расположено на оси Ох. Сделайте рисунок. (ответ: (0;0), (10;0), (5;5v3)).

Используя метод координат, определите координаты всех вершин правильного шестиугольника ABCDEF. (ответ: A (0;0), B (1;0), C (1,5;v3/2) , D (1;v3), E (0;v3 ), F (-0,5;v3/2). Указание: примите точку А за начало координат, ось абсцисс направьте от А к В, за единицу масштаба возьмите длину стороны АВ. Удобно провести большие диагонали шестиугольника.)

В математике как алгебра, так и геометрия ставят задачи по нахождению расстояния до точки или прямой от заданного объекта. Оно находится совершенно разными способами, выбор которых зависит от исходных данных. Рассмотрим, как найти расстояние между заданными объектами в разных условиях.

Использование измерительных инструментов

На начальном этапе освоения математической науки учат, как пользоваться элементарными инструментами (такими, как линейка, транспортир, циркуль, треугольник и другие). Найти расстояние между точками или прямыми при их помощи совсем несложно. Достаточно приложить шкалу делений и записать ответ. Стоит лишь знать, что расстояние будет равным длине прямой, которую можно провести между точками, а в случае с параллельными линиями - перпендикуляру между ними.

Использование теорем и аксиом геометрии

В учатся измерять расстояние без помощи специальных приспособлений или Для этого нужны многочисленные теоремы, аксиомы и их доказательства. Зачастую задачи о том, как найти расстояние, сводятся к образованию и поиску его сторон. Для решения таких задач достаточно знать теорему Пифагора, свойства треугольников и способы их преобразования.

Точки на координатной плоскости

Если есть две точки и задано их положение на координатной оси, то как найти расстояние от одной до другой? Решение будет включать несколько этапов:

Соединяем точки прямой, длина которой и будет являться расстоянием между ними.
Находим разность значений координат точек (к;р) каждой оси: |к 1 - к 2 |= д 1 и |р 1 - р 2 |= д 2 (значения берем по модулю, т.к. расстояние не может быть отрицательным).
После этого возводим получившиеся числа в квадрат и находим их сумму: д 1 2 + д 2 2
Заключительным этапом будет извлечение из получившегося числа. Это и будет расстоянием между точками: д=V (д 1 2 + д 2 2).

В итоге все решение осуществляется по одной формуле, где расстояние равно квадратному корню от суммы квадратов разности координат:

д =V(|к 1 - к 2 | 2 +|р 1 - р 2 | 2)

Если возникнет вопрос о том, как найти расстояние от одной точки до другой в то поиск ответа на него не будет особо отличаться от приведенного выше. Решение будет осуществляться по следующей формуле:

д=V(|к 1 - к 2 | 2 +|р 1 - р 2 | 2 +|е 1 - е 2 | 2)

Параллельные прямые

Перпендикуляр, проведенный из любой точки, лежащей на одной прямой, к параллели, и будет расстоянием. При решении задач в плоскости необходимо найти координаты любой точки одной из прямых. А затем вычислить расстояние от нее до второй прямой. Для этого приводим их к общему вида Ах+Ву+С=0. Из свойств параллельных прямых известно, что их коэффициенты А и В будут равны. В таком случае найти можно по формуле:

д = |C 1 - C 2 |/V(A 2 + B 2)

Таким образом, при ответе на вопрос о том, как найти расстояние от заданного объекта, необходимо руководствоваться условием задачи и предоставляемыми инструментами ее решения. Ими могут быть как измерительные приспособления, так и теоремы и формулы.

Расстояние от точки до точки - это длина отрезка, соединяющего эти точки, в заданном масштабе. Таким образом, когда речь идет об измерении расстояния, то требуется знать масштаб (единицу длины), в котором будут проводиться измерения. Поэтому, задачу нахождения расстояния от точки до точки обычно рассматривают либо на координатной прямой, либо в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Другими словами, наиболее часто приходится вычислять расстояние между точками по их координатам.

В этой статье мы, во-первых, напомним, как определяется расстояние от точки до точки на координатной прямой. Далее получим формулы для вычисления расстояния между двумя точками плоскости или пространства по заданным координатам. В заключении, подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой.

Давайте для начала определимся с обозначениями. Расстояние от точки А до точки В будем обозначать как .

Отсюда можно заключить, что расстояние от точки А с координатой до точки В с координатой равно модулю разности координат , то есть, при любом расположении точек на координатной прямой.

Расстояние от точки до точки на плоскости, формула.

Получим формулу для вычисления расстояния между точками и , заданными в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

В зависимости от расположения точек А и В возможны следующие варианты.

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю.

Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс, то точки и совпадают, а расстояние равно расстоянию . В предыдущем пункте мы выяснили, что расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому, . Следовательно, .

Аналогично, если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат, то расстояние от точки А до точки В находится как .

В этом случае треугольник АВС – прямоугольный по построению, причем и . По теореме Пифагора мы можем записать равенство , откуда .

Обобщим все полученные результаты: расстояние от точки до точки на плоскости находится через координаты точек по формуле .

Полученную формулу для нахождения расстояния между точками, можно использовать когда точки А и В совпадают или лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Действительно, если А и В совпадают, то . Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ох , то . Если А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Оу , то .

Расстояние между точками в пространстве, формула.

Введем прямоугольную систему координат Оxyz в пространстве. Получим формулу для нахождения расстояния от точки до точки .

В общем случае, точки А и В не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные координатным осям Ох , Оу и Oz . Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями дадут нам проекции точек А и В на эти оси. Обозначим проекции .

Искомое расстояние между точками А и В представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке. По построению, измерения этого параллелепипеда равны и . В курсе геометрии средней школы было доказано, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, поэтому, . Опираясь на информацию первого раздела этой статьи, мы можем записать следующие равенства , следовательно,

откуда получаем формулу для нахождения расстояния между точками в пространстве .

Эта формула также справедлива, если точки А и В

совпадают;
принадлежат одной из координатных осей или прямой, параллельной одной из координатных осей;
принадлежат одной из координатных плоскостей или плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

Нахождение расстояния от точки до точки, примеры и решения.

Итак, мы получили формулы для нахождения расстояния между двумя точками координатной прямой, плоскости и трехмерного пространства. Пришло время рассмотреть решения характерных примеров.

Число задач, при решении которых конечным этапом является нахождение расстояния между двумя точками по их координатам, поистине огромно. Полный обзор таких примеров выходит за рамки данной статьи. Здесь мы ограничимся примерами, в которых известны координаты двух точек и требуется вычислить расстояние между ними.