Угол треугольника зная все стороны. Параметры треугольника по заданным параметрам. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого равен 90º. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Чтобы найти угол в прямоугольном треугольнике, используются некоторые свойства прямоугольных треугольников, а именно: то, что сумма острых углов равна 90º, а также то, что напротив катета, длина которого в два раза меньше гипотенузы, лежит угол, равный 30º.

Быстрая навигация по статье

Равнобедренный треугольник

Одно из свойств равнобедренного треугольника — два его угла равны. Для вычисление значений углов прямоугольного равнобедренного треугольника нужно знать, что:

Прямой угол равен 90º.
Значения острых углов определяются по формуле: (180º-90º)/2=45º, т.е. углы α и β равны 45º.

Если известна величина одного из острых углов, второй можно найти по формуле: β=180º-90º-α, или α=180º-90º-β. Чаще всего это соотношение используется, если один из углов равен 60º или 30º.

Ключевые понятия

Сумма внутренних углов треугольника равна 180º. Так как один угол прямой, два оставшихся будут острыми. Для их нахождения необходимо знать, что:

Другие способы

Величины острых углов прямоугольного треугольника можно вычислить, зная значение медианы – линии, проведенной из вершины к противоположной стороне треугольника, и высоты – прямой, представляющей собой перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу. Пусть s – медиана, проведенная из прямого угла к середине гипотенузы, h — высота. В таком случае получается, что:

sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin α=h/b; sin β =h/a.

Две стороны

Если в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы и одного из катетов, либо две стороны, для нахождения значений острых углов используются тригонометрические тождества:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Прямоугольный треугольник встречается в реальности практически на каждом углу. Знание о свойствах данной фигуры, а также умение вычислять ее площадь, несомненно пригодится вам не только для решения задач по геометрии, но и в жизненных ситуациях.

Геометрия треугольника

В элементарной геометрии прямоугольный треугольник - это фигура, которая состоит из трех соединенных отрезков, формирующих три угла (два острых и один прямой). Прямоугольный треугольник - оригинальная фигура, характеризующаяся рядом важных свойств, которые составляют фундамент тригонометрии. В отличие от обычного треугольника стороны прямоугольной фигуры имеют собственные названия:

Гипотенуза - самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - отрезки, образующие прямой угол. В зависимости от рассматриваемого угла катет может быть прилежащим к нему (образующий этот угол с гипотенузой) или противолежащим (лежащим напротив угла). Для непрямоугольных треугольников катетов не существуют.

Именно соотношение катетов и гипотенузы составляет основу тригонометрии: синусы, тангенсы и секансы определяются как отношение сторон прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник в реальности

Данная фигура получила широкое распространение в реальности. Треугольники находят применение в проектировании и технике, поэтому расчет площади фигуры приходится выполнять инженерам, архитекторам и проектировщикам. Форму треугольника имеют основания тетраэдров или призм - трехмерных фигур, которые легко встретить в повседневности. Кроме того, угольник - наиболее простое представление «плоского» прямоугольного треугольника в реальности. Угольник - это слесарный, чертежный, строительный и столярный инструмент, который используется для построения углов как школьниками, так и инженерами.

Площадь треугольника

Площадь геометрической фигуры - это количественная оценка того, какая часть плоскости ограничена сторонами треугольника. Площадь обычного треугольника можно найти пятью способами, используя формулу Герона или оперируя при расчетах такими переменными, как основание, сторона, угол и радиус вписанной или описанной окружности. Самая простая формула площади выражается как:

где a – сторона треугольника, h – его высота.

Формула для вычисления площади прямоугольного треугольника еще проще:

где a и b – катеты.

Работая с нашим онлайн-калькулятор, вы можете вычислить площадь треугольника, используя три пары параметров:

два катета;
катет и прилежащий угол;
катет и противолежащий угол.

В задачах или бытовых ситуациях вам будут даны разные комбинации переменных, поэтому такая форма калькулятора позволяет вычислить площадь треугольника несколькими способами. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Керамическая плитка

Допустим, вы хотите выполнить облицовку стен кухни керамической плиткой, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для того чтобы определить расход плитки вы должны узнать площадь одного элемента облицовки и общую площадь обрабатываемой поверхности. Пусть вам необходимо обработать 7 квадратных метров. Длина катетов одного элемента составляет по 19 см, тогда площадь плитки будет равна:

Это означает, что площадь одного элемента составляет 24,5 квадратных сантиметра или 0,01805 квадратных метра. Зная эти параметры, вы можете подсчитать, что для отделки 7 квадратных метров стены вам понадобится 7/0,01805 = 387 элементов облицовочной плитки.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольного треугольника, зная только то, что сторона одного катета равна 5 см, а величина противолежащего угла составляет 30 градусов. Наш онлайн-калькулятор сопровождается иллюстрацией, на которой указаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Если сторона a = 5 см, то ее противолежащий угол - это угол альфа, равный 30 градусов. Введите эти данные в форму калькулятора и получите результат:

Таким образом, калькулятор не только вычисляет площадь заданного треугольника, но и определяет длину прилежащего катета и гипотенузы, а также величину второго угла.

Заключение

Прямоугольные треугольники встречаются в нашей жизни буквально на каждом углу. Определение площади таких фигур пригодится вам не только при решении школьных заданий по геометрии, но и повседневной и профессиональной деятельности.

Первые - это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90 о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c 2 (квадрат гипотенузы) = a 2 +b 2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется "египетским". Интересно то, что которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, - бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30 о, 45 о и 60 о.

При угле, который равен 30 о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
Если угол 45 о, значит, второй острый угол также 45 о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
Свойство угла в 60 о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30 о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

через высоту и сторону, на которую она опускается;
по формуле Герона;
по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:

АНДРЕЙ ПРОКИП: «МОЯ ЛЮБОВНИЦА – РОССИЙСКАЯ ЭКОЛОГИЯ. ВКЛАДЫВАТЬ НУЖНО В НЕЕ!»
4-5 сентября прошел экологический форум «Климатический форму городов». Инициатором организации мероприятия является организация С40, которая была основана в 2005 году ООН. Основной из задач форму и городов является контроль за климатическими изменениями городов.
Как показала практика, в отличие от светских раутов и «заседаний в ночных клубах», депутатов и публичных персоналий на было мало. Среди тех, кто действительно выявил озабоченность экологической ситуацией был Прокип Адрей Зиновьевич. Он взял активное участие во всех пленарных заседаниях вместе со специальным представителем Президента Российской Федерации по вопросам климата Русланом Эдельгериевым, заместителем мера Москвы по вопросам жилищно-коммунального хозяйства Петром Бирюковым, а также иностранными представителями – мэром итальянского города Савона – Иларио Каприоглио. Участники представили свои проекты, а также обсудили стратегии по удержанию роста мировой температуры, а также предложили практические решения устойчивого развития городов.
АНДРЕЙ ПРОКИП ПРО ШАШЛЫКИ, ДЕПУТАТОВ И ЗЕЛЕНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО
Особый интерес у Российской стороны вызвало выступление спикеров, среди которых были европейские архитекторы, ученые и мер Савона. Темой выступления стало ТОПовое направление – «зеленое строительство». Как заявил сам Андрея Прокип « важно правильно перераспределить ресурсы, а также учитывать стандарты европейского строительства для такого мегаполиса как Москва. Необходимо чтобы Россия на Федеральном уровне взяла курс на «зеленое финансирование», тем более что это экономически целесообразно и как показывает практика – выгодно». Также он высказал опасения на счет ухудшения здоровья россиян в связи с экологическими катастрофами и несоблюдением экологических норм по утилизации отходов крупными и малыми промышленными предприятиями». Утвердился он в своих опасениях также благодаря выступлению Франческо Замбона – профессора Европейского бюро ВОЗ по инвестициям в здравоохранение.
С свойственным юмором Андрей обратился к известным персонам, которые были приглашены на форум, но так и не явились, с призывом «вспоминать о природе, не только когда они захотят шашлычков либо отправятся на рыбалку. Ведь именно от благосклонности природы зависит здоровье всего народа, в число которого к сожалению, входят и они».
Кроме пылких речей о новой «любовнице-природе» Андрея Зиновьевича и важности брать ответственность за окружающую среду на себя, значимым событием форума стало пленарное заседание на тему «Как воспитать новое поколение». Участники форума были едины во мнении, что воспитывать нужно не только детей, но и взрослое поколение. Очень важно воспитать ответственность перед природой в бытовом поведении, а также в бизнесе.
Для Москвы будет запущен специальный проект «учимся жить цивилизованно». Это образовательный проект для всех слоев населения и возрастных категорий. Но какова бы не была прекрасна теория и благие намерения, для России до сих пор актуальна поговорка «пока жареный петух не клюнет – дурак не перекрестится».
По мнению Тимоти Неттера – известного театрального режиссера – все может изменить искусство. В одном из выступлений он рассказал о том, как нужно преподносить идею сохранения природы в театре и кино и как важно воспитать в людях через искусство ответственность за то, что будет завтра с нами и природой.
Внимание операторов рентв и Андрея Прокирпа обратили на себя студенты российских вузов, представив проект по экологичной технологии производства тары, устойчивой к воздействию влаги и температуры. Это весьма актуальная проблема, так как по всему миру принимают законы против пластиковой тары, которая к слову разлагается более 30 лет, загрязняет почву и вызывает гибель животных.
Воодушевляет тот факт, что Москва одна из 94 городов-участников организации С40 и уже в третий раз проводится форум, который с каждым годом привлекает внимание все больше известных персоналий и горожан.

Введите известные даные треугольника
Сторона а

Сторона b

Сторона c

Угол А в градусах

Угол B в градусах

Угол C в градусах

Медиана на сторону а

Медиана на сторону b

Медиана на сторону c

Высота на сторону a

Высота на сторону b

Высота на сторону c

Координаты вершины А
X Y
Координаты вершины B
X Y
Координаты вершины C
X Y
Площадь треугольника S

Полупериметр сторон треугольника p

Представляем Вам калькулятор, который позволял рассчитывать все возможные .

Хотелось бы обратить Ваше внимание именно на то, что это универсальный бот. Он рассчитывает все параметры произвольного треугольника, при произвольно заданных параметрах. Такого бота вы не найдете нигде.

Вам известна сторона и две высоты? или две стороны и медиана? Или биссектриса два угла и основание треугольника?

По любым запросам, мы можем получить правильный расчет параметров треугольника.

Вам нет необходимости искать формулы и делать расчет самостоятельно. За вас уже все сделано.

Создайте запрос и получите точный ответ.

Показан произвольный треугольник. Сразу оговоримся как и что обозначается, дабы в дальнейшем не было путаницы и ошибок в расчетах.

Стороны противоположные любому углу называются так же только маленькой буквой . То есть напротив угла А лежит сторона треугольника а, стороне с противостоит угол С.

ma - это медина, падающая на сторону а, соответственно есть еще медианы mb и mc падающие на соответствующие стороны.

lb - это биссектриса, падающая на сторону b, соответственно есть еще биссектрисы la и lc падающие на соответствующие стороны.

hb - это высота, падающая на сторону b, соответственно есть еще высоты ha и hc падающие на соответствующие стороны.

Ну и второе, помните что треугольником является фигура в которой присутствует фундаментальное правило:

Сумма любых(!) двух сторон должна быть больше третьей .

Поэтому не удивляйтесь если получите ошибку При таких данных треугольника не существует при попытке рассчитатать параметры треугольника со сторонами 3, 3 и 7.

Синтаксис

Для позволяателей XMPP клиентов запрос вот такой treug <список параметров>

Для пользователй сайта, все сделано на этой странице.

Список параметров - параметры которые известны, разделенные точкой с запятой

параметр записываетя как параметр=значение

Например если известна сторона а с значением 10, то так и записываем a=10

Более того, значения могут быть не только в виде вещественного числа, но и например как результат какого то выражения

А вот и сам список парметров которые могут фигурировать в расчетах.

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Полупериметр p

Угол А

Угол B

Угол C

Площадь треугольника S

Высота ha на сторону a

Высота hb на сторону b

Высота hc на сторону c

Медиана ma на сторону a

Медиана mb на сторону b

Медиана mc на сторону c

Координаты вершин (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Примеры

пишем treug a=8;C=70;ha=2

Параметры треугольника по заданным параметрам

Сторона a = 8

Сторона b = 2.1283555449519

Сторона c = 7.5420719851515

Полупериметр p = 8.8352137650517

Угол А = 2.1882518638666 в градусах 125.37759631119

Угол B = 2.873202966917 в градусах 164.62240368881

Угол C = 1.221730476396 в градусах 70

Площадь треугольника S = 8

Высота ha на сторону a = 2

Высота hb на сторону b = 7.5175409662872

Высота hc на сторону c = 2.1214329472723

Медиана ma на сторону a = 3.8348889915443

Медиана mb на сторону b = 7.7012304590352

Медиана mc на сторону c = 4.4770789813853

Вот и все, все параметры треугольника.

Вопрос, почему мы сторону назвали а , а не в или с ? Это не влияет на решение. Главное выдержать условие о котором я уже сказал "Стороны противоположные любому углу называются так же, только маленькой буквой ." А далее нарисовать в уме треугольник, и применить к заданному вопросу.

Можно было бы взять вместо а в , но тогда прилежащий угол будет не С а А ну и высота будет hb . Результат если вы проверите, будет один и тот же.

Например вот такими (xa,ya) =3,4 (xb,yb) =-6,14 (xc,yc)=-6,-3

пишем запрос treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

и получаем