Умножение алгебраических дробей. Умножение и деление алгебраических дробей Правило умножения алгебраических дробей примеры

Пример.

Найдите произведение алгебраических дробей и .

Решение.

Перед выполнением умножения дробей, разложим на множители многочлен в числителе первой дроби и знаменателе второй. В этом нам помогут соответствующие формулы сокращенного умножения : x 2 +2·x+1=(x+1) 2 и x 2 −1=(x−1)·(x+1) . Таким образом, .

Очевидно, полученную дробь можно сократить (этот процесс мы разбирали в статье сокращение алгебраических дробей).

Осталось лишь записать результат в виде алгебраической дроби, для чего нужно выполнить умножение одночлена на многочлен в знаменателе: .

Обычно решение записывают без пояснений в виде последовательности равенств:

Ответ:

Иногда с алгебраическими дробями, которые нужно умножить или разделить, следует выполнить некоторые преобразования, чтобы выполнение указанных действий проходило проще и быстрее.

Пример.

Разделите алгебраическую дробь на дробь .

Решение.

Упростим вид алгебраической дроби , избавившись от дробного коэффициента. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 7 , что нам позволяет сделать основное свойство алгебраической дроби , имеем .

Теперь стало видно, что знаменатель полученной дроби и знаменатель дроби , на которую нам нужно выполнить деление, являются противоположными выражениями. Изменим знаки числителя и знаменателя дроби , имеем .

На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и вычитание алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

2. Частные случаи применения правил умножения и деления дробей

Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

3. Примеры умножения и деления обыкновенных дробей

Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными . Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

4. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (простые случаи)

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

5. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)

До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

Пример 14

На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными . Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример 17

Пример 18

В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21

А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

2 3: 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

Определение 1

Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.

В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

Определение 2

Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

Это правило можно также записать как a b: c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.

Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.

Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

Пример 1

Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.

Решение

Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5)

Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y

Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y:

1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y

Приведем полученную дробь к стандартному виду:

1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 (x + y) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2

Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .

Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

Пример 2

Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 - 1 .

Решение

Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1

У нас получилась дробь, которую можно сократить:

x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · (x - 1)

О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2

Вот запись всего решения без пояснений:

x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2

Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2 .

В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

Пример 3

Условие: разделите 2 1 7 · x - 1 на 12 · x 7 - x .

Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x - 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

2 1 7 · x - 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x - 1 = 14 x - 7

Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 - x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 - x , получим 12 · x 7 - x = - 12 · x x - 7 .

После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x = 14 x - 7: - 12 · x x - 7 = 14 x - 7 · x - 7 - 12 · x = 14 · x - 7 x - 7 · - 12 · x = = 14 - 12 · x = 2 · 7 - 2 · 2 · 3 · x = 7 - 6 · x = - 7 6 · x

Ответ: 2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x = - 7 6 · x .

Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.

Пример 4

Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 .

Решение

x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 = x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 (x - 4) · x + 4 = (x + 4) · 1 5 · x · y · (x - 4) · (x + 4) = 1 5 · x · y · x - 4 = = 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y

Ответ: x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 = 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронная рабочая тетрадь по алгебре для 8 класса
Мультимедийное учебное пособие для 8 класса "Алгебра за 10 минут"

Предварительное разложение алгебраической дроби на множители

Перед началом работы с дробями, а именно на умножении и делении, желательно произвести разложение числителя и знаменателя на множители. Это облегчит разложение на множители дроби, которая получится в результате математического действия.

Например, дана дробь:

$\frac{8x+8y}{16}$.

Произведем тождественное преобразование, то есть разложим числитель на множители.

$\frac{8x+8y}{16}=\frac{8(x+y)}{16}$.

Или, например, дана такая дробь:

$\frac{x^2-y^2}{x+1}$.

Её лучше привести к такому виду:

$\frac{x^2-y^2}{x+1}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+1}$.

Не забываем про свойство:

$(b-a)^2=(a-b)^2$.

Умножение алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Умножение алгебраических дробей производится так же, как и умножение обыкновенных дробей. Перемножаются между собой числители и знаменатели.
В виде формулы это можно представить следующим образом:

$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислите:

$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}$.

Разложим дробь на множители.

$\frac{5x+5y}{x-y}*\frac{x^2-y^2}{10x}=\frac{5(x+y)}{x-y}*\frac{(x-y)(x+y)}{10x}$.

Приведем обе дроби к общему знаменателю (вспомним урок: "Сложение и вычитание дробей ", где были подсказки, как лучше и проще подбирать общий знаменатель). В итоге получим дробь.

$\frac{5(x+y)(x-y)(x+y)}{(x-y)*10x}=\frac{(x+y)^2}{2x}$

Пример 2.

Вычислите:

$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6b^2-12ab+6a^2}{49a^4b^5}$.

Разложим на составные множители и сократим дробь.

$\frac{7a^3b^5}{3a-3b}*\frac{6(b^2-2ab+a^2)}{49a^4b^5}=\frac{7a^3b^5*6(b-a)^2}{3(a-b)*49a^4b^5}=\frac{2(b-a)^2}{7a(a-b)}$.

Деление алгебраических дробей с одинаковыми и разными знаменателями

Деление дробей производится так же, как и деление обыкновенных дробей, то есть нужно дробь "делителя" перевернуть и произвести умножение.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

Рассмотрим примеры.

Пример 3.

Выполните действия:

$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.

Разложим дроби на множители.

$\frac{x^3-1}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{8y}:\frac{x^2+x+1}{16y^2}$.

Теперь переворачиваем дробь и умножаем.

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)*16y^2}{8y*(x^2+x+1)}=2y*(x-1)$.

Пример 4.

Вычислите:

$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}$.

Разложим на множители и сгруппируем многочлены.

$\frac{a^4-b^4}{ab+2b-3a-6}:\frac{b-a}{a+2}=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(ab+2b)-(3a+6)}:\frac{b-a}{a+2}=$

$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{b(a+2)-3(a+2)}:\frac{b-a}{a+2}$.

Переворачиваем и умножаем дроби.

$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2)}{(a+2)(b-3)(b-a)}=\frac{-(a+b)(a^2+b^2)}{(b-3)}$.